Współczynniki Fibonacciego

Leonardo Pisano Fibonacci urodził się w 1175 roku w Pizie. Był matematykiem i jednym z najwybitniejszych uczonych swojej epoki. Jednym z jego wielkich dokonań było wprowadzenie liczb arabskich, które wyparły stosowaną do tej pory numerację rzymską. Odkrył także ciąg liczb nazwany później ciągiem Fibonacciego.

Odkrycia Leonarda mają znamienny wpływ na analizy rynków finansowych–narzędzia Fibonacciego, oparte na rekurencyjnym ciągu liczbowym, który Fibonacci jako pierwszy zapisał i stosował, pozwalają bowiem z powodzeniem wykorzystywać je podczas analizy rynków. Ciąg Fibonacciego rozpoczyna się od dwóch jedynek, a każda następna liczba stanowi sumę dwóch poprzednich liczb, co można zaprezentować w następujący sposób: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…

Formuła matematyczna opisująca sposób wyznaczania kolejnych wartości ciągu Fibonacciego określona jest wzorem:
kn+2 = kn+1 + kn, gdzie:
n – należy do liczb naturalnych oraz
k0 = 1, k1 = 1.
Można pokazać, że,
gdzie φ jest rozwinięciem dziesiętnym nieskończonym.

Za średniowiecznym włoskim matematykiem Lucą Paciolim przyjęto, że liczba φ, przybliżona z dokładnością do trzech miejsc po przecinku, jest tzw. złotym podziałem lub złotym środkiem. Stąd też w opracowaniach często podaje się, że φ=1,618. Liczba PHI jest niezwykle ważnym współczynnikiem, gdyż to przy jej wykorzystaniu inwestorzy określają dalsze możliwe scenariusze rynkowe. Nie ulega więc wątpliwości, że niepodważalnymi współczynnikami Fibonacciego są: PHI (1,618) oraz phi (0,618).

Zależności występujące pomiędzy kolejnymi liczbami z ciągu Fibonacciego polegają na określeniu wzajemnych relacji między danymi liczbami z tego ciągu. Najważniejsze własności, które charakteryzują powyższy układ, można zaprezentować w następujący sposób:
• Stosunek dowolnej liczby w ciągu do następującej po niej wynosi 0,618.
• Stosunek dowolnej liczby w ciągu do liczby poprzedniej jest równy 1,618.
• Stosunek dalszej liczby ciągu do wcześniejszego wyrazu wynosi 2,618.
• Stosunek wcześniejszej liczby do dalszego wyrazu z ciągu jest równy 0,382.

Powyższe proporcje liczbowe znalazły swoje zastosowanie już w starożytności. Wykorzystywane były także w architekturze, sztuce oraz wielu innych dziedzinach życia.


Posługując się szeregiem Fibonacciego, można wyliczyć wartości, których odzwierciedleniem są zachowania ludzi oraz prawa zachodzące w naturze. Ciąg ten nie jest grą liczbową, ale najważniejszym ze wszystkich odkrytych do tej pory matematycznych ujęć zjawisk naturalnych. Przedstawione niżej przykłady w pełni ilustrują niektóre z jego ciekawszych zastosowań.

Ciekawym przykładem jest geometryczny i matematyczny sekret piramidy w Gizie. Każda krawędź piramidy ma 783,3 stopy długości. Jej wysokość wynosi 484,4 stopy. Długość linii bocznej podzielona przez wysokość daje współczynnik phi, czyli 1,618. Wysokość 484,4 stopy to inaczej 5813 cali, a jak wiadomo, 5, 8, 13 to kolejne liczby ciągu Fibonacciego.

Zależności te każą przypuszczać, że piramida została zaprojektowana tak, by zawrzeć proporcję 1,618. Współcześni uczeni skłaniają się ku hipotezie, że starożytni Egipcjanie zbudowali ją wyłącznie w celu przekazania następnym pokoleniom swojej wiedzy. Intensywne badania piramidy pozwoliły ustalić, że jej budowniczowie dysponowali znaczną wiedzą matematyczną i astrologiczną. Spośród wszystkich proporcji wkomponowanych w piramidę i jej otoczenie najważniejsza jest liczba 1,618.

Nie tylko Egipcjanie wznosili piramidy o doskonałych proporcjach złotego podziału. Podobne zależności odnajdujemy w piramidach meksykańskich. Nie można wykluczyć hipotezy, że piramidy w Egipcie i Meksyku zostały zbudowane w tym samym czasie przez narody wywodzące się od wspólnych przodków. Dowodem jest fakt, jak wielkie znaczenie miała wartość phi w konstrukcji piramid. Przekrój poprzeczny piramidy ukazuje schodową strukturę. Jest 16 stopni w pierwszej części, 42 stopnie w drugiej i 68 w trzeciej. Każda z tych liczb powiązana jest ze sobą współczynnikiem 1,618.

Kolejnym odwzorowaniem liczb Fibonacciego jest ilość odgałęzień wyrastających z łodygi rośliny w miarę jej rozwoju. Idealny przypadek tego zjawiska odzwierciedlają takie rośliny, jak irys, pierwiosnek, krostawiec, stokrotka, michałek. Suma wszystkich rozgałęzień na poszczególnych poziomach wyraża się liczbą Fibonacciego. Sądzić można, że współczynnik Fibonacciego jest właśnie takim prawem.

Sekwencja ciągu Fibonacciego obecna jest również w Układzie Słonecznym. Odległości księżyców od planety, wokół której się poruszają, są proporcjonalne do wartości z ciągu Fibonacciego. Podobne proporcje możemy spotkać w przypadku odległości poszczególnych planet od Słońca.